Analysis für Physiker und Ingenieure: Funktionentheorie, by Klaus Jänich

By Klaus Jänich

Aus den Besprechungen: "Ein Lehrbuch, wie ich es mir als scholar gewünscht hätte: Nahezu jeder Begriff wird vor seiner Einführung ausführlich motiviert, guy findet eine Unmenge...von hervorragenden Figuren, jedes Kapitel enthält sowohl eine Einleitung, in der skizziert wird, 'wohin der Hase laufen soll', als auch eine Rückschau mit den wichtigsten Ergebnissen. guy findet reichlich Übungen (mit Lösungshinweisen) sowie a number of selection assessments (mit Lösungen) am Ende eines jeden Kapitels. Der Stil ist locker und unterhaltsam und unterscheidet sich wohltuend von den üblichen trockenen Mathematik-Lehrbüchern.
Ein hervorragendes Lehrbuch, dessen Lektüre nicht nur für Physiker und Ingenieure nützlich, sondern auch für Mathematikstudenten eine willkommene Ergänzung zum 'täglichen Brot' sein dürfte".
Zentralblatt für Mathematik

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Eine bijektive lokal konforme Abbildungf: G -> (j nennt man konform. D *' Lokal konform ist auch dasselbe wie "winkeltreu" . Die Winkel, von denen dabei die Rede ist, sind die Winkel zwischen ebenen Kurven: Gehen zwei differenzierbare Kurven a und ß durch Zo, sagen wir a(to) = ß(to) = Zo, und zwar mit von Null verschiedener Geschwindigkeit, so kann man von dem Winkel ({J sprechen, den ß gegen a bildet, nämlich von dem Winkel 0 :$ ({J < 21l, den man braucht, um a(to) in die Richtung von ß(to) zu drehen p a Figur 50 Eine total differenzierbare Abbildungf: G -> Cheißt winkeltreu, wenn sie Kurven, die den Winkel ({J einschließen, stets wieder in solche abbildet.

Brigens ist es auch gewissermaßen Willkür, die Ebene gerade in die Streifen - n + 2kn < y < n + 2kn zu zerlegen, die e-Funktion bildet jeden Horizontalstreifen der Breite 2 n auf eine geeignet geschlitzte Ebene konform ab, und wenn man also z. B. //; -I////; eZ 2ni 1///111IIllllI 'illill/ii/////;, o ) + 2ni J-2ni Figur 69. Logarithmuszweige auf der positiv geschlitzten Ebene deren "Nebenzweige" man auch wieder durch Addition von 2kni erhält. Kehren wir aber wieder zur negativ geschlitzten Ebene zurück: Wir haben hier, der Deutlichkeit halber, die einzelnen Zweige durch den Index k in der Notation unterschieden: InoZ = lnz (Hauptzweig), lnkz = lnz + 2kni.

Beispiel: Z2 + 2. Beispiel: Z2 z + Z, also ist die erste Funktion analytisch (als Polynom), die zweite aber nicht, denn sonst wäre auch analytisch, das ist aber falsch, denn ist nicht winkeltreu, es ist ja eine Spiegelung und kehrt deshalb die Winkelvorzeichen um. z z An den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ist auch ein interessanter theoretischer Sachverhalt abzulesen, nämlich daß Real- und Imaginärteil analytischer Funktionen § 4 Potenzreihen 33 "harmonisch" sind. Wie vorhin schon bemerkt ist ja jede analytische Funktion C"', also können wir insbesondere die zweiten partiellen Ableitungen von u und v bilden und es gilt u xy = u yx ' v xy = v yx ' wie aus der Infinitesimalrechnung bekannt ist.

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